A normális eloszlás

A normális eloszláson alapul a statisztika klasszikus elméletének túlnyomó része. 

A xivalószínűségi változót normális eloszlásúnak nevezzük, ha sűrűségfüggvénye:

Az fgrafikonja az ún. haranggörbe (Gauss-görbe). Az ffüggvény m-re szimmetrikus, fszigorúan monoton növekvő a intervallumon. -ban f-nek inflexiós pontja van. m-ben f-nek maximumhelye van, a maximum értéke . sigmanövelésével a harang alakú görbe ,,laposabbá'' válik, sigmacsökkentésével pedig ,,csúcsosabbá''. Az alábbi ábrán normális sűrűségfüggvények láthatóak m=0  esetén. A legcsúcsosabbnál sigma=0.7, a középsőnél sigma=1, míg a leglaposabbnál sigma=1.5.

 

 Normális sűrűségfüggvények különböző szórásokra

 

A normális eloszlásfüggvényre nincs zárt formula, de vannak jó numerikus közelítések.

A normális eloszlás a mérési hibák tipikus eloszlása. Ez a gyakorlatban azt jelenti, hogy ha a mérési eredmények oszlopdiagramját (pontosabban szólva, sűrűséghisztogramját) felrajzoljuk, akkor arra általában jól illeszthető haranggörbe (lásd az alábbi ábrát).

 

Hisztogram és normális sűrűségfüggvény

 

 

A standard normális eloszlás

Ha , akkor xi_0-at standard normális eloszlásúnak nevezzük. Az alábbi ábrákon a standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye, ill. eloszlásfüggvénye látható.

 

Az ábrákon bejelöltük a 0.025  kvantilist: -a=-1.96és a 0.975  kvantilist: a=1.96. Ez azt jelenti, hogy a sűrűségfüggvény alatt besatírozott két rész mindegyike 0.025  területű. Továbbá, hogy az eloszlásfüggvény értéke a -a=-1.96  helyen 0.025, az a=1.96helyen pedig 0.975.

A standard normális sűrűségfüggvény

 

A standard normális eloszlásfüggvény

 

A standard normális karakterisztikus függvény: . A páratlan rendű momentumok nullával egyenlőek, a párosak: