A Gibbs-effektus

 

Gibbs-jelenségnek nevezzük a végtelen Fourier-sor csonkolása okán megjelenő oszcillációt. Mivel rendszereink természetüknél fogva sávkorlátozottak, ezért a valóságban előforduló (periodikus) jelek ún. véges Fourier-sorszelettel modellezhetőek. Kérdés, milyen hibát követünk el az elméletileg végtelen együtthatóból álló Fourier-sor csonkolásával. Az alábbiakban ezt fontoljuk meg.

Kezdjük egy példával!

Példa. Tekintsük az alábbi függvényt:

\begin{displaymath}f(x) = \left\{ \begin{array}{lll}1 & 0 \leq x \leq \pi \\-1 & -\pi \leq x < 0 .\end{array} \right.\end{displaymath}



Mivel ez egy páratlan függvény, így an = 0, minden $n \geq 0$ esetén:

\begin{displaymath}b_n = \frac{2}{\pi} \frac{(1 - (-1)^n)}{n},\;\;\mbox{for $n \geq 1$}.\end{displaymath}



 f(x) véges Fourier-sora:

\begin{displaymath}f_{2n-1}(x) = \frac{4}{\pi}\left(\sin(x) + \frac{\sin(3x)}{3} +\ldots+\frac{\sin((2n-1)x)}{(2n-1)}\right).\end{displaymath}



A tétel szerint ez a sor  f(x)-hez tart n növelésével,  kivéve az  x0 = 0 pontot, ahol  f(x) nem folytonos. Gibbs a Fourier sor viselkedését vizsgálta ezen pont környezetében.

Ha az ábrára pillantunk, mely a véges Fourier sorszeletet ábrázolja növekvő számú tagokra, érdekes jelenségre figyelhetünk fel. A 0 pont környékén "túllövés" következik be.
Nézzünk utána ennek a jelenségnek! Számítsuk ki  f2n-1 második deriváltját, aminek segítségével majd meghatározhatók lesznek a maximum értékek.

\begin{displaymath}f'_{2n-1}(x) = \frac{4}{\pi}(\cos(x) + \cos(3x)+\ldots+\cos((2n+1)x)).\end{displaymath}



Trigonometrikus azonosságok segítségével írhatjuk:

\begin{displaymath}\pi \sin(x) f'_{2n-1}(x) = 2\sin(2nx).\end{displaymath}



Ezek szerint  f2n-1 kritikus pontjai

\begin{displaymath}2nx = \pm \pi, \pm 2\pi,....,\pm (2n-1)\pi.\end{displaymath}



Mivel a függvény páratlan, ezért vizsgálódásainkat csak a pozitív x-ekre korlátozzuk. A legkisebb pozitív kritikus érték:$\displaystyle \frac{\pi}{2n}$. Így

\begin{displaymath}f_{2n-1}\left(\frac{\pi}{2n}\right) = \frac{4}{\pi}\left(\sin......}{3} +\ldots+ \frac{\sin(\frac{(2n-1)\pi}{2n})}{(2n-1)}\right).\end{displaymath}



Most ezen sorozat aszimptotikus viselkedését vizsgáljuk nagy n-ekre. Riemann összegeket fogunk használni. Valójában tekintsük az $\displaystyle F(x) = \frac{\sin(x)}{x}$ függvényt a $[0,\pi]$-n, és a $\left\{{\displaystyle \frac{k\pi}{n}}, \;\;k \in [1,n]\right\}$ partíciót $[0,\pi]$-n. Így a Riemann összeg

\begin{displaymath}\frac{\pi}{n}\left(\frac{\sin\left(\displaystyle \frac{\pi}{2......-1)\pi}{2n}\right)}{\displaystyle \frac{(2n-1)\pi}{2n}}\right)\end{displaymath}



tart $\displaystyle \int_{0}^{\pi} F(x)dx$ -hez. Ez az eredmény egyszerűen átirható:

\begin{displaymath}\frac{\pi}{2}f_{2n-1}\left(\displaystyle \frac{\pi}{2n}\right).\end{displaymath}



Így

\begin{displaymath}\lim_{n \rightarrow \infty} f_{2n-1}\left(\frac{\pi}{2n}\right) = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{\sin(x)}{x}dx.\end{displaymath}



$\sin(x)$ 0 körüli Taylor sorát felírva kapjuk, hogy

\begin{displaymath}\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{\sin(x)}{x}dx = 2 - \frac{\pi^2}{9} + \frac{\pi^4}{300} - \frac{\pi^6}{17640}+\ldots\end{displaymath}



két tizedesre kerekítve

\begin{displaymath}\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{\sin(x)}{x}dx = 1,18 .\end{displaymath}



Ezek a túllövések számításaink szerint 0,18 nagyságúak. Ez persze csak erre a speciális függvényre igaz. Gibbs megmutatta, hoghy ha  f(x) szakaszosan folytonos a $[-\pi,\pi]$ tartományon, és x0 -ban szakadása van, akkor a véges Fourier sorszelet ugynaígy viselkedik, a lengés mértéke pedig

\begin{displaymath}0,09 \Big(f(x_0+) - f(x_0-)\Big).\end{displaymath}



A jelenséget tovább finomítjuk: bevezetjük a $\sigma$-approximáció elvét. Legyen  f(x) szakaszosan folytonos a $[-\pi,\pi]$-n és fN(x) jelölje a véges Fourier sorszeletet. Legyen

\begin{displaymath}S_N(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{n = N} (a_n\sigma_n \cos(nx) + b_n\sigma_n \sin(nx)),\end{displaymath}



ahol

\begin{displaymath}\sigma_n = \frac{\sin\left(\displaystyle \frac{n\pi}{N}\right)}{\displaystyle \frac{n\pi}{N}}, \;\;\; n = 1,2,\ldots,N,\end{displaymath}



melyeket $\sigma$-faktoroknak nevezünk.  Annak bemutatására, hogy a $\{S_N(x)\}$ összegek jobban approximálják f(x)-et, mint a véges Fourier sor $\{f_N(x)\}$, a következő megfontolást hívjuk segítségre:

Adott

\begin{displaymath}S_N(x) = \displaystyle \int_{\displaystyle -\pi/N}^{\displaystyle \pi/N} f_N(x+t)dt.\end{displaymath}

továbbá

\begin{displaymath}\frac{N}{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{N}}^{\frac{\pi}{N}}\cos(n(x+t......ft(\displaystyle \frac{n\pi}{N}\right)}{n} =\cos(nx)\sigma_n.\end{displaymath}



Hasonlóan:

\begin{displaymath}\frac{N}{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{N}}^{\frac{\pi}{N}}\sin(n(x+t))dt = \sin(nx)\sigma_n.\end{displaymath}



Ezért

\begin{displaymath}\frac{N}{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{N}}^{\frac{\pi}{N}}s_N(x+t)dt...... \sum_{n=1}^{n=N} (a_n\cos(nx)\sigma_n + b_n\sin(nx)\sigma_n)\end{displaymath}



amből következik az állítás.

Az alábbi ábrából láthatjuk, hogy $\{S_N(x)\}$ sokkal jobban közelíti  f(x)-t, s eltűnt a Gibbs-jelenség.

Példa. Ez az ábra

azt mutatja, hogy a $\sigma$-approximáció használata esetén a Gibbs-jelenség nem lép fel a korábban vizsgált függvényre:

\begin{displaymath}f(x) = \left\{ \begin{array}{lll}1 & 0 \leq x \leq \pi \\-1 & -\pi \leq x < 0\end{array} \right.\end{displaymath}



Ebben az esetben

\begin{displaymath}f_N(x) = \frac{4}{\pi}\left(\sin(x) + \frac{\sin(3x)}{3} + ....+\frac{\sin(N-1)x}{N-1}\right),\end{displaymath}



és

\begin{displaymath}S_N(x) = \frac{4}{\pi}\left[\sin(x)\sin\left(\frac{\pi}{N}\ri......N-1)^2}\sin((N-1)x) \sin\left(\frac{(N-1)\pi}{N}\right)\right].\end{displaymath}