A Gibbs-effektus
Gibbs-jelenségnek nevezzük a végtelen Fourier-sor csonkolása okán megjelenő oszcillációt. Mivel rendszereink természetüknél fogva sávkorlátozottak, ezért a valóságban előforduló (periodikus) jelek ún. véges Fourier-sorszelettel modellezhetőek. Kérdés, milyen hibát követünk el az elméletileg végtelen együtthatóból álló Fourier-sor csonkolásával. Az alábbiakban ezt fontoljuk meg. Kezdjük egy példával! Példa. Tekintsük az alábbi függvényt:
Mivel ez egy páratlan függvény, így an = 0, minden esetén:
f(x) véges Fourier-sora:
A tétel szerint ez a sor f(x)-hez tart n növelésével, kivéve az x0 = 0 pontot, ahol f(x) nem folytonos. Gibbs a Fourier sor viselkedését vizsgálta ezen pont környezetében. Ha az ábrára pillantunk, mely a véges Fourier sorszeletet
ábrázolja növekvő számú tagokra,
érdekes jelenségre figyelhetünk fel. A 0 pont környékén
"túllövés" következik be.
Trigonometrikus azonosságok segítségével írhatjuk:
Ezek szerint f2n-1 kritikus pontjai
Mivel a függvény páratlan, ezért vizsgálódásainkat csak a pozitív x-ekre korlátozzuk. A legkisebb pozitív kritikus érték:. Így
Most ezen sorozat aszimptotikus viselkedését vizsgáljuk nagy n-ekre. Riemann összegeket fogunk használni. Valójában tekintsük az függvényt a -n, és a partíciót -n. Így a Riemann összeg
tart -hez. Ez az eredmény egyszerűen átirható:
Így
0 körüli Taylor sorát felírva kapjuk, hogy
két tizedesre kerekítve
Ezek a túllövések számításaink szerint 0,18 nagyságúak. Ez persze csak erre a speciális függvényre igaz. Gibbs megmutatta, hoghy ha f(x) szakaszosan folytonos a tartományon, és x0 -ban szakadása van, akkor a véges Fourier sorszelet ugynaígy viselkedik, a lengés mértéke pedig
A jelenséget tovább finomítjuk: bevezetjük a -approximáció elvét. Legyen f(x) szakaszosan folytonos a -n és fN(x) jelölje a véges Fourier sorszeletet. Legyen
ahol
melyeket -faktoroknak nevezünk. Annak bemutatására, hogy a összegek jobban approximálják f(x)-et, mint a véges Fourier sor , a következő megfontolást hívjuk segítségre: Adott továbbá
Hasonlóan:
Ezért
amből következik az állítás. Az alábbi ábrából láthatjuk, hogy sokkal jobban közelíti f(x)-t, s eltűnt a Gibbs-jelenség. Példa. Ez az ábra azt mutatja, hogy a -approximáció használata esetén a Gibbs-jelenség nem lép fel a korábban vizsgált függvényre:
Ebben az esetben
és |